הלל (הארי) פורסטנברג (Harry Furstenberg)

הלל (הארי) פורסטנברג (Harry Furstenberg) זוכה פרס וולף במתמטיקה - 2006
הלל (הארי) פורסטנברג (Harry Furstenberg)


פרס וולף במתמטיקה תשס'ז-2006/7


ועדת הפרס במתמטיקה לשנת תשס'ז-2006/7 החליטה פה אחד להעניקו לשני אנשי מדע:


הלל (הארי) פורסטנברג (Harry Furstenberg)
1935, גרמניה
האוניברסיטה העברית בירושלים
ירושלים, ישראל


על תרומותיו המעמיקות לתורה האֶרגודית, הסתברות, דינאמיקה טופולוגית, אנליזה על גבי משטחים סימטריים וזרימות אחידות.


סטפן סמייל (Stephen Smale)
1930, ארה"ב
אוניברסיטת קליפורניה בברקלי
ברקלי, קליפורניה, ארה'ב

על תרומותיו פורצות הדרך, שמילאו תפקיד בסיסי בעיצובן של הגיאומטריה הדיפרנציאלית, המערכות הדינאמיות, הכלכלה המתמטית ונושאים אחרים במתמטיקה.


פרופסור סטפן סמייל תרם רבות, בשנות החמישים המאוחרות ובשנות השישים המוקדמות, להתפתחות הגיאומטריה הדיפרנציאלית, שדה שהיה אז עדיין בחיתוליו. תוצאותיו בדבר 'שרייה' (אימרסיה) של משטחים כדוריים (ספֶרות) במרחבים אוקלידיים עדיין מסקרנת מתמטיקאים, כפי שיעידו סרטים ותמונות שנעשו לאחרונה, המדגימים את מה שהוא קרא 'שליפה' (אֶוֶורסיה) של המשטח הכדורי. הוכחתו למשפט פואנקרה עבור ממדים 5 ומעלה היא אחד ההישגים המתמטיים הגדולים ביותר של המאה העשרים. משפט ה'קובּורדיזם-h' שלו הפך להיות, אולי, המכשיר הבסיסי ביותר בגיאומטריה הדיפרנציאלית.

במשך שנות השישים עיצב סמייל מחדש את עולם המערכות הדינאמיות. תורת המערכות ההיפרבוליות שלו ממשיכה להיות אחת ההתפתחויות העיקריות, מאז פּוּאַנקָרֶה, בשטח זה, והיסודות המתמטיים של מה שנקרא 'תורת הכאוס' אף הם הונחו על ידו. בשנות השישים המוקדמות תרמה עבודתו של סמייל תרומה דרמאטית לשינוי בחקר הטופולוגיה והאנליזה של יריעות אינסוף ממדיות. שינוי זה הושג בעזרת האנלוגים האינסוף-ממדיים שקיבל סמייל למשפט הנקודה הקריטית של מורס (מה שנקרא היום 'תורת פאליי-סמייל') ולמשפט סארד.

בשנות השבעים הפנה סמייל את מחקרו למכניקה ולכלכלה, והחיל עליהן את רעיונותיו על טופולוגיה ודינאמיקה. לדוגמה, מושג 'הפוטנציאל המשופר' שלו ממלא תפקיד מרכזי בהתפתחויות העכשוויות בתחומי היציבות וההסתעפות של מצבי שיווי משקל יחסיים. בכלכלה השתמש סמייל בתורה מופשטת של אופטימיזאציה במספר משתנים שפיתח, כדי לספק תנאים לקיום נקודות אופטימום במובן של פּארֶטו, וכדי לאפיין קבוצת נקודות אופטימום זו כתת-יריעה של מצבים דיפֶאומורפיים לקבוצות מצבי שיווי המשקל של פארטו. הוא גם הוכיח קיום מצבי שיווי משקל כללי בהנחות חלשות מאוד ותרם לפיתוח אלגוריתמים לחישוב מצבי שיוויי משקל אלו.

פעילותו זו היא שהובילה אותו בשנות השמונים המוקדמות לקטע הארוך ביותר בקריירה שלו - עבודתו על תורת החישובים והמתמטיקה החישובית. בניגוד לזרם המרכזי במחקר החישוב המדעי, שהתרכז בפתרונות מידיים לבעיות קונקרטיות, פיתח סמייל תורה של חישוב מתמשך וסיבוכיות במקרה הרציף (בדומה לתורה שפיתחו מדעני המחשב למקרה הבדיד), ותכנן וניתח אלגוריתמים למספר בעיות ספציפיות. כמה מניתוחים אלה מהווים מופת לשימוש במתמטיקה עמוקה בלימוד אלגוריתמים נומריים.

פרופסור הלל פורסטנברג הוא אחד מרבי האמנים של תורת ההסתברות, התורה הארגודית והטופולוגיה הדינאמית. בין תרומותיו: השימוש ברעיונות מהתורה האֶרגודית בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, והשימוש ברעיונות הסתברותיים בתורת חבורות לי ותת-חבורותיהן הבדידות.

בתורת ההסתברות הוא היה חלוץ בלימוד מכפלות של מטריצות אקראיות וקישור התנהגותן הגבולית למשפטי מבנה עמוקים לגבי חבורות לי. לתוצאה זו הייתה השפעה מרבית על כל העבודה שנעשתה לאחר מכן באותו שטח, שצץ ועלה כענף ראשי לא רק בהסתברות, אלא גם בפיסיקה סטטיסטית ובשטחים אחרים.

בטופולוגיה דינאמית, הוכחתו של פורסטנברג למשפט המבנה עבור זרימות מרוחקות (דיסטאליות) הכניסה טכניקות חדשות באופן רדיקאלי וחוללה מהפכה בשטח. המשפט שלו, האומר כי זרימה מעגלית-גבולית (הורוציקלית) על משטח בעל עקמומיות שלילית קבועה היא אֶרגודית באופן יחיד, הפך להיות מרכיב עיקרי בתורה הדינאמית של פעולות חבורות לי. במחקרו על תהליכים סטוכאסטיים על מרחבים אחידים (הומוגניים) הוא הכניס שיטות עמידוֹת (סטציונאריות) שלימודן הוביל אותו להגדיר את מה שנקרא היום 'שפת פורסטנברג' של חבורה. לניתוח שלו להתנהגות האסימפטוטית של מהלכים אקראיים על חבורות הייתה השפעה מתמשכת על העבודה שנעשתה בשטח זה לאחר מכן, כולל חקר סריגים של חבורות לי וחישוקים נלווים (קו-סייקלים) של פעולות חבורה.

בתורה האֶרגודית פיתח פורסטנברג את המושג הבסיסי של שיכון דינאמי. פיתוח זה הוביל אותו לשימושים מרהיבים בקומבינטוריקה, כולל הוכחה חדשה למשפט סֶמֶרֶדי על סדרות חשבוניות והכללות מרחיקות לכת של משפט זה.